5. В треугольнике QMN: QN = 12, QM = 6, MN = 10. MK ⟂ QN, MK = x, KN = y. Найдите x и y.

Обозначим \(QK=a\). Поскольку \(QK+KN=QN\), получаем \(a+y=12\).

Из прямоугольных треугольников QMK и MKN по теореме Пифагора: \(a^2+x^2=6^2\), \(y^2+x^2=10^2\). Вычитая первое равенство из второго, получаем \(y^2-a^2=64\), то есть \((y-a)(y+a)=64\).

Так как \(y+a=12\), то \(y-a=\dfrac{16}{3}\). Решая систему \(y+a=12\), \(y-a=\dfrac{16}{3}\), находим \(y=\dfrac{26}{3}\), \(a=\dfrac{10}{3}\).

Тогда \(x^2=10^2-y^2=100-\left(\dfrac{26}{3}\right)^2=\dfrac{224}{9}\), поэтому \(x=\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\).

Ответ: \(x=\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\), \(y=\dfrac{26}{3}\).