5 В центре города есть круглая площадь с центром в точке О. От здания администрации города, расположенного в точке С, мимо площади проходит прямая дорога — касательная к окружности (Н - точка касания). Расстояние от здания администрации до центра площади равно 16 м, а угол между СО и радиусом площади, проведённым в точку Н, равен 60°. Чему равен радиус площади?

Дано:

• Круглая площадь с центром в точке О.
• Здание администрации в точке С.
• Прямая дорога — касательная к окружности в точке Н.
• Расстояние от здания администрации до центра площади (СО) = 16 м.
• Угол между СО и радиусом ОН = 60°.

Найти:

• Радиус площади (ОН).

Решение:

В этой задаче мы имеем дело с прямоугольным треугольником СОН, где:

1. ОН — радиус окружности (площади), который нам нужно найти.
2. СО — расстояние от здания администрации до центра площади, равное 16 м. Это гипотенуза треугольника СОН.
3. Угол СОН — угол между гипотенузой СО и радиусом ОН. По условию он равен 60°.

Важно помнить, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что угол ОНС равен 90°.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике СОН:

Мы знаем гипотенузу (СО) и угол (СОН), а ищем прилежащий катет (ОН).

Используем косинус угла:

$$ ext{cos}( ext{угол } СОН) = rac{ ext{прилежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} $$

$$ ext{cos}(60^ ext{о}) = rac{ОН}{СО} $$

Мы знаем, что $$ ext{cos}(60^ ext{о}) = rac{1}{2} $$.

Подставляем известные значения:

$$ rac{1}{2} = rac{ОН}{16 ext{ м}} $$

Теперь выразим ОН:

$$ ОН = 16 ext{ м} imes rac{1}{2} $$

$$ ОН = 8 ext{ м} $$

Таким образом, радиус площади равен 8 метрам.

Ответ: 8 м