5. В угол В вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках А и С. Найдите угол АВО, если ∠ АОС = 118°.

Рассмотрим треугольник АОС. Он равнобедренный (ОА = ОС - радиусы). ∠ОАС = ∠ОСА = (180° - 118°) / 2 = 31°. Так как окружность вписана в угол В, то луч ВО является биссектрисой угла В и также биссектрисой угла АОС. Следовательно, ∠АВО = ∠СВО. В треугольнике АВО, ∠ВАО = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Сумма углов в треугольнике АВО: ∠АВО + ∠ВАО + ∠АОС/2 = 180°. ∠АВО + 90° + 118°/2 = 180°. ∠АВО + 90° + 59° = 180°. ∠АВО = 180° - 149° = 31°.