5. В жаркий день для охлаждения яблочного сока массой mс = 250 г, находящего при температуре t₁ = 30 °С, Вася использовал кубики льда из морозилки. Длина ребра кубика а = 2 см, начальная температура t₂ = –10 °С. Теплообменом сока и кубиков с окружающей средой и стаканом можно пренебречь. Удельная теплоёмкость сока сс = 4200 Дж/(кг· °С), удельная теплоёмкость льда сл = 2100 Дж/(кг· °С), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. 1) Определите массу одного кубика льда, если плотность льда ρ = 900 кг/м³. 2) Вася опускал кубики в сок до тех пор, пока они не перестали таять. Какой стала температура содержимого стакана? 3) Какое минимальное количество кубиков Васе для этого понадобилось? Напишите полное решение этой задачи

Решение:

Дано:

Масса сока \( m_c = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг} \)

Начальная температура сока \( t_1 = 30 \text{ °С} \)

Длина ребра кубика \( a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м} \)

Начальная температура льда \( t_2 = -10 \text{ °С} \)

Удельная теплоёмкость сока \( c_c = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \)

Удельная теплоёмкость льда \( c_л = 2100 \text{ Дж/(кг·°С)} \)

Удельная теплота плавления льда \( \lambda = 330 \text{ кДж/кг} = 330000 \text{ Дж/кг} \)

Плотность льда \( \rho = 900 \text{ кг/м³} \)

Найти:

1. Массу одного кубика льда \( m_{куб} \)
2. Конечную температуру содержимого стакана \( t_{кон} \)
3. Минимальное количество кубиков \( N \)

1) Масса одного кубика льда

Для начала найдём объём одного кубика льда:

\( V_{куб} = a^3 = (0.02 \text{ м})^3 = 0.000008 \text{ м³} \)

Теперь найдём массу одного кубика льда, используя его объём и плотность:

\( m_{куб} = \rho \cdot V_{куб} = 900 \text{ кг/м³} \cdot 0.000008 \text{ м³} = 0.0072 \text{ кг} \)

2) Конечная температура содержимого стакана

Когда Вася опускал кубики льда до тех пор, пока они не перестали таять, это означает, что весь лёд растаял и в стакане теперь смесь льда и воды при температуре плавления (0 °С), либо всё растаяло и получилась вода. В условиях сказано, что он опускал кубики, пока они не перестали таять, что означает, что лёд растаял, но температура смеси не поднялась выше 0 °С. При таком условии, если весь лёд растаял, то конечная температура будет 0 °С.

\( t_{кон} = 0 \text{ °С} \)

3) Минимальное количество кубиков

Чтобы найти минимальное количество кубиков, нужно посчитать, сколько теплоты нужно отнять у сока, чтобы охладить его до 0 °С, и разделить это на количество теплоты, которое может отдать один кубик льда, растаяв и нагревшись до 0 °С.

Теплота, которую нужно отнять у сока:

\( Q_{отнять} = m_c \cdot c_c \cdot (t_1 - t_{кон}) = 0.25 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot (30 \text{ °С} - 0 \text{ °С}) = 0.25 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 30 \text{ °С} = 31500 \text{ Дж} \)

Теплота, которую отдаст один кубик льда, чтобы растаять и нагреться до 0 °С:

\( Q_{дать} = m_{куб} \cdot \lambda + m_{куб} \cdot c_л \cdot (0 \text{ °С} - t_2) \)

\( Q_{дать} = 0.0072 \text{ кг} \cdot 330000 \text{ Дж/кг} + 0.0072 \text{ кг} \cdot 2100 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot (0 \text{ °С} - (-10 \text{ °С})) \)

\( Q_{дать} = 2376 \text{ Дж} + 0.0072 \text{ кг} \cdot 2100 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 10 \text{ °С} \)

\( Q_{дать} = 2376 \text{ Дж} + 151.2 \text{ Дж} = 2527.2 \text{ Дж} \)

Минимальное количество кубиков:

\( N = \frac{Q_{отнять}}{Q_{дать}} = \frac{31500 \text{ Дж}}{2527.2 \text{ Дж}} \approx 12.46 \)

Так как количество кубиков должно быть целым, берём ближайшее большее целое число.

\( N = 13 \text{ кубиков} \)

Ответ:

1. Масса одного кубика льда: 0.0072 кг
2. Температура содержимого стакана: 0 °С
3. Минимальное количество кубиков: 13