5. Внутри квадратного участка пасется коза. Её привязали верёвками к трём столбам, стоящим в углах участка. Длина каждой верёвки равна стороне участка. Коза съедает всю траву там, куда может дотянуться. Закрасьте часть участка, на котором коза съест всю траву. (» рис.)

Решение:

Представим квадратный участок. Козу привязали к трем углам (столбам) верёвками. Длина каждой верёвки равна стороне квадрата. Коза может пастись в радиусе, определяемом длиной верёвки, от каждого столба.

Пусть сторона квадрата равна 'a'. Коза привязана к трем углам. Участок — это квадрат. Коза съест траву в тех областях, до которых может добраться.

Обозначим углы квадрата как A, B, C, D по часовой стрелке. Предположим, козу привязали к углам A, B и C. Верёвки имеют длину 'a'.

От угла A, коза может дотянуться до всех точек внутри квадрата, находящихся в круге радиусом 'a' с центром в A. Это четверть круга, так как угол квадрата 90 градусов.

Аналогично, от угла B, коза может дотянуться до всех точек внутри квадрата в круге радиусом 'a' с центром в B (четверть круга).

И от угла C, коза может дотянуться до всех точек внутри квадрата в круге радиусом 'a' с центром в C (четверть круга).

Область, где коза съест траву, — это объединение этих трех четвертей кругов внутри квадрата.

Геометрическое решение:

1. Участок: Квадрат со стороной 'a'.
2. Точки привязи: Три угла квадрата. Пусть это будут углы, образующие три стороны квадрата (например, верхний левый, верхний правый, нижний левый).
3. Радиус действия: Длина верёвки = 'a'.
4. Область кормления от первого столба (угол A): Четверть круга радиусом 'a' внутри квадрата.
5. Область кормления от второго столба (угол B): Четверть круга радиусом 'a' внутри квадрата.
6. Область кормления от третьего столба (угол C): Четверть круга радиусом 'a' внутри квадрата.

Закрашиваемая область: это сумма площадей трех четвертей кругов, но с учетом перекрытий. Коза может добраться до любой точки, которая находится в радиусе 'a' от любого из трех столбов.

Иллюстрация:

• Нарисуйте квадрат.
• Отметьте три угла, к которым привязана коза.
• От каждого из этих углов проведите дугу радиусом, равным стороне квадрата, так, чтобы дуга находилась внутри квадрата.
• Область, которую нужно закрасить, — это вся площадь внутри квадрата, которая находится под этими тремя дугами.

Важно: Коза не может выйти за пределы участка.

Расчет площади (если бы потребовалось):

Площадь одной четверти круга радиусом 'a' равна rac{1}{4} imes ext{π} imes a^2.

Если бы три четверти круга не пересекались, общая площадь была бы 3 imes rac{1}{4} imes ext{π} imes a^2.

Однако, в данном случае, привязка к трем углам, где верёвки равны стороне, приведет к значительным перекрытиям, и коза сможет добраться до большей части участка.

Описание закрашиваемой области:

Представьте, что вы рисуете три дуги из трех углов, каждая радиусом, равным стороне квадрата. Границы участка, где коза может пастись, будут определяться этими дугами. Если коза привязана к трем углам, она может добраться до точки, если она находится в пределах радиуса 'a' от хотя бы одного из этих углов.

Если коза привязана к углам A, B, C, то она может добраться до точки P, если расстояние AP ≤ a ИЛИ BP ≤ a ИЛИ CP ≤ a.

Поэтому, нужно закрасить всю область внутри квадрата, которая попадает в радиус 'a' от угла A, ИЛИ в радиус 'a' от угла B, ИЛИ в радиус 'a' от угла C.

Это будет объединение трех секторов (четвертей круга) с центром в каждом из трех выбранных углов и радиусом, равным стороне квадрата.