5. Внутри угла ABC, равного 60°, проведён луч BM. Внутри угла ABM проведён луч BK. ∠ABM = 50°, ∠KBC = 40°. Найдите угол между биссектрисами углов ABK и CBM.

Порядок лучей внутри угла: BA, BK, BM, BC. Так как \(\angle ABC=60^\circ\) и \(\angle ABM=50^\circ\), получаем \(\angle MBC=60^\circ-50^\circ=10^\circ\).

Луч BK лежит внутри угла ABM, поэтому \(\angle ABK=\angle ABM-\angle KBM\). Из разбиения всего угла следует также \(\angle KBM=\angle KBC-\angle MBC=40^\circ-10^\circ=30^\circ\). Тогда \(\angle ABK=50^\circ-30^\circ=20^\circ\).

Биссектриса угла ABK образует с BA угол \(20^\circ:2=10^\circ\). Биссектриса угла CBM образует с BC угол \(10^\circ:2=5^\circ\). Между лучами BA и BC — 60°, поэтому угол между биссектрисами равен \(60^\circ-10^\circ-5^\circ=45^\circ\).

Ответ: 45°.