5. Внутри угла BAC, равного 120°, проведен луч AK. Внутри угла BAK проведен луч AM, ∠BAK = 90°, ∠MAC = 80°. Найдите угол между биссектрисами углов BAM и CAK.

Рассмотрим лучи внутри угла BAC в порядке AB, AM, AK, AC.

1. Так как ∠BAC = 120° и ∠BAK = 90°, то ∠KAC = 120° − 90° = 30°.
2. Луч AM лежит внутри ∠BAK, а ∠MAC = 80°. Поэтому ∠MAK = ∠MAC − ∠KAC = 80° − 30° = 50°.
3. Тогда ∠BAM = ∠BAK − ∠MAK = 90° − 50° = 40°. Его биссектриса образует с лучом AB угол 20°.
4. Биссектриса ∠CAK образует с лучом AK угол 15°. Поскольку ∠BAK = 90°, угол между биссектрисами равен 20° + 90° − 15° − 10°? Уточним положения: от AB биссектриса BAM находится на 20°, от AB луч AK — на 90°, а биссектриса CAK — на 105° (поскольку AC расположен на 120°, AK на 90°). Разность направлений равна 105° − 20° = 85°.

Ответ: 85°.