5. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой \(L: y=\frac{x^3}{3},\ -\frac12\le x\le\frac12\) вокруг оси \(Ox\).

Площадь поверхности вращения графика вокруг оси \(Ox\):

\[S=2\pi\int_{-1/2}^{1/2}|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx.\]

Здесь \(y=\frac{x^3}{3}\), поэтому \(y'=x^2\). Подынтегральная функция симметрична:

\[S=4\pi\int_0^{1/2}\frac{x^3}{3}\sqrt{1+x^4}\,dx.\]

Подстановка \(u=1+x^4\), \(du=4x^3\,dx\):

\[S=\frac{4\pi}{3}\cdot\frac14\int_1^{17/16}u^{1/2}\,du=\frac{2\pi}{9}\left[\left(\frac{17}{16}\right)^{3/2}-1\right].\]

Следовательно, \[S=\frac{\pi(17\sqrt{17}-64)}{288}.\]

Ответ: \(\frac{\pi(17\sqrt{17}-64)}{288}\).