5. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой \(y=x^3\), \(-\frac12\le x\le\frac12\), вокруг оси \(Ox\).

При вращении графика вокруг оси \(Ox\) радиус поверхности равен расстоянию до оси, то есть \(|y|\). Поэтому площадь вычисляется по формуле \(S=2\pi\int |y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx\).

Для \(y=x^3\) имеем \(y'=3x^2\), следовательно, \(\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+9x^4}\). Подынтегральная функция симметрична, поэтому

\[S=4\pi\int_0^{1/2}x^3\sqrt{1+9x^4}\,dx.\]

Сделаем замену \(u=1+9x^4\), тогда \(du=36x^3\,dx\). При \(x=0\) получаем \(u=1\), при \(x=\frac12\) — \(u=\frac{25}{16}\).

\[S=\frac{4\pi}{36}\int_1^{25/16}u^{1/2}\,du=\frac{\pi}{27}\left[u^{3/2}\right]_1^{25/16}=\frac{\pi}{27}\left(\frac{125}{64}-1\right)=\frac{61\pi}{864}.\]

Ответ: \(\frac{61\pi}{864}\).