№ 5. Вычислите: 3) \(5^6\cdot5^{11}:5^{15}\); 4) \(31^9:31^{10}\cdot31\); 5) \(\left(-1\frac{5}{6}\right)^{12}\cdot\left(-1\frac{5}{6}\right)^{13}:\left(-1\frac{5}{6}\right)^{23}\); 6) \(\frac{7^{15}\cdot7^6}{7^{19}}\); 7) \(\frac{(0,6)^{10}\cdot(0,6)^{19}}{(0,6)^{21}\cdot(0,6)^8}\); 8) \(7^2\cdot343\); 9) \(27:3^2\cdot3^3\); 10) \(\frac{6^4\cdot4^4}{4^5}\).

Используем правила степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают; \(a^m\cdot b^m=(ab)^m\).

1. \(5^6\cdot5^{11}:5^{15}=5^{6+11-15}=5^2=25.\)
2. \(31^9:31^{10}\cdot31=31^{9-10+1}=31^0=1.\)
3. \(-1\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}\). Тогда \(\left(-\frac{11}{6}\right)^{12+13-23}=\left(-\frac{11}{6}\right)^2=\frac{121}{36}.\)
4. \(\frac{7^{15}\cdot7^6}{7^{19}}=7^{15+6-19}=7^2=49.\)
5. \(\frac{(0,6)^{10}\cdot(0,6)^{19}}{(0,6)^{21}\cdot(0,6)^8}=(0,6)^{10+19-21-8}=(0,6)^0=1.\)
6. \(7^2\cdot343=7^2\cdot7^3=7^5=16807.\)
7. \(27:3^2\cdot3^3=3^3:3^2\cdot3^3=3^{3-2+3}=3^4=81.\) Умножение и деление выполняются слева направо.
8. \(\frac{6^4\cdot4^4}{4^5}=\frac{(6\cdot4)^4}{4^5}=\frac{24^4}{4^5}=\frac{6^4}{4}=324.\)

Ответ: 3) 25; 4) 1; 5) \(\frac{121}{36}\); 6) 49; 7) 1; 8) 16807; 9) 81; 10) 324.