5. Вычислите градусные меры неизвестных углов параллелограмма (рис. 19). 1) Параллелограмм MNPK, диагональ NK; при вершине N углы между NM и NK равны 65°, между NK и NP — 45°. 2) Параллелограмм BCDA; засечками отмечено, что BC = BA = AC. 3) Параллелограмм PKFT; засечками отмечено, что PK = KF = FT = TP, диагональ PF, ∠KPF = 40°. 4) Параллелограмм MDTS; засечками отмечено, что MD = DS, диагональ MS, ∠TMS = 45°.

Диагональ NK делит угол N на части 65° и 45°, поэтому ∠N = 65° + 45° = 110°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

∠K = 110°, ∠M = ∠P = 180° − 110° = 70°.

Из засечек BC = BA = AC следует, что треугольник BCA равносторонний, поэтому его углы равны 60°. В частности, угол A параллелограмма равен 60°. Противоположный угол C равен 60°, а углы B и D смежные с ним.

∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

Все стороны равны, значит, параллелограмм — ромб. Диагональ PF делит угол P пополам, поэтому ∠P = 2 · 40° = 80°. Противоположный угол F равен 80°, а соседние углы равны 180° − 80° = 100°.

∠P = ∠F = 80°, ∠K = ∠T = 100°. Угол между PK и PF равен углу между PF и PT: по 40°; аналогично, угол F разделён диагональю на две части по 40°.

MD = DS, следовательно, параллелограмм — ромб. Диагональ MS делит угол M пополам. Поэтому ∠M = 2 · 45° = 90°. Все углы параллелограмма в этом случае прямые.

∠M = ∠D = ∠T = ∠S = 90°.