5. Вычислите интеграл ∫_{-1}¹ (5 - x - 3x²)dx

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = 5 - x - 3x^2 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \int (5 - x - 3x^2) dx = 5x - \frac{x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} + C = 5x - \frac{x^2}{2} - x^3 + C \]

2. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \). Здесь \( a = -1 \) и \( b = 1 \).

\( F(1) = 5(1) - \frac{(1)^2}{2} - (1)^3 = 5 - \frac{1}{2} - 1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).

\( F(-1) = 5(-1) - \frac{(-1)^2}{2} - (-1)^3 = -5 - \frac{1}{2} - (-1) = -5 - \frac{1}{2} + 1 = -4 - \frac{1}{2} = -\frac{9}{2} \).

3. Вычислим значение интеграла:

\[ \int_{-1}^{1} (5 - x - 3x^2) dx = F(1) - F(-1) = \frac{7}{2} - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2} + \frac{9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

Ответ: 8.