5. Вычислите: $$\log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 \frac{2}{125}$$

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

$$\log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 \frac{2}{125} = \log_4 \left( 5 \cdot 25 \cdot \frac{2}{125} \right)$$

Вычислим аргумент логарифма:

$$5 \cdot 25 \cdot \frac{2}{125} = 125 \cdot \frac{2}{125} = 2$$

Таким образом, выражение равно:

$$\log_4 2$$

Чтобы найти значение \( \log_4 2 \), нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 2? Так как $$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$$, то \( \log_4 2 = \frac{1}{2} \).

Ответ: $$\frac{1}{2}$$