5) Вычислите логарифмическую производную y = (3-x)^arctg x

Question

Вопрос:

5) Вычислите логарифмическую производную y = (3-x)^arctg x

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Для вычисления логарифмической производной функции вида $$y = f(x)^{g(x)}$$ используется метод логарифмирования: сначала логарифмируем обе части уравнения, затем дифференцируем, и в конце выражаем $$y'$$.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Логарифмируем обе части уравнения:
$ \ln y = \ln ((3-x)^{\text{arctg } x}) $
Используя свойство логарифма $ \ln a^b = b \ln a $, получаем:
$ \ln y = \text{arctg } x \cdot \ln (3-x) $
Шаг 2: Дифференцируем обе части уравнения по $ x $, используя правило производной сложной функции и производную произведения:
$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\text{arctg } x) \cdot \ln (3-x) + \text{arctg } x \cdot \frac{d}{dx}(\ln (3-x)) $
Находим производные:
$ \frac{d}{dx}(\text{arctg } x) = \frac{1}{1+x^2} $
$ \frac{d}{dx}(\ln (3-x)) = \frac{1}{3-x} \cdot (-1) = \frac{-1}{3-x} $
Шаг 3: Подставляем найденные производные обратно в уравнение:
$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \cdot \ln (3-x) + \text{arctg } x \cdot \frac{-1}{3-x} $
$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln (3-x)}{1+x^2} - \frac{\text{arctg } x}{3-x} $
Шаг 4: Выражаем $ \frac{dy}{dx} $ (логарифмическую производную), умножая обе части на $ y $:
$ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln (3-x)}{1+x^2} - \frac{\text{arctg } x}{3-x} \right) $
Подставляем исходное выражение для $ y = (3-x)^{\text{arctg } x} $:
$ \frac{dy}{dx} = (3-x)^{\text{arctg } x} \left( \frac{\ln (3-x)}{1+x^2} - \frac{\text{arctg } x}{3-x} \right) $

Ответ: $ \frac{dy}{dx} = (3-x)^{\text{arctg } x} \left( \frac{\ln (3-x)}{1+x^2} - \frac{\text{arctg } x}{3-x} \right) $