5. Вычислите наиболее рациональным способом: 87 \(\cdot\) 43 + \(\frac{87^3 - 43^3}{44}\)

Решение:

Воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

В нашем случае \( a = 87 \) и \( b = 43 \). Тогда \( a - b = 87 - 43 = 44 \).

Подставим это в дробь:

\( \frac{87^3 - 43^3}{44} = \frac{(87 - 43)(87^2 + 87 \cdot 43 + 43^2)}{44} = \frac{44(87^2 + 87 \cdot 43 + 43^2)}{44} = 87^2 + 87 \cdot 43 + 43^2 \).

Теперь исходное выражение будет выглядеть так:

\( 87 \cdot 43 + 87^2 + 87 \cdot 43 + 43^2 \).

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( 87^2 + 2 \cdot (87 \cdot 43) + 43^2 \).

Это формула квадрата суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Тогда наше выражение равно:

\( (87 + 43)^2 = 130^2 \).

Вычислим квадрат:

\( 130^2 = 16900 \).

Ответ: 16900