5. Вычислите значение выражения \( \log_5 3 - \frac{\log_7 15}{\log_7 5} \).

Решение:

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Применим формулу смены основания логарифма: \( \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a \). В нашем случае \( c=7, a=15, b=5 \), поэтому \( \frac{\log_7 15}{\log_7 5} = \log_5 15 \).
2. Подставим полученное значение обратно в выражение: \( \log_5 3 - \log_5 15 \).
3. Применим свойство вычитания логарифмов с одинаковым основанием: \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \). В нашем случае \( b=5, x=3, y=15 \), поэтому \( \log_5 3 - \log_5 15 = \log_5 \frac{3}{15} \).
4. Упростим дробь: \( \log_5 \frac{3}{15} = \log_5 \frac{1}{5} \).
5. Вычислим логарифм: \( \log_5 \frac{1}{5} = \log_5 5^{-1} = -1 \).

Ответ: -1