5. Вычислите значение выражения sin(arcctg\(-\sqrt{3}/3\)).

Решение:

Для вычисления значения выражения \( \sin(\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) \) сначала найдём значение арккотангенса.

1. Пусть \( \alpha = \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \). Это значит, что \( \operatorname{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \alpha \) лежит в интервале \( (0, \pi) \).
2. Известно, что \( \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
3. Так как \( \operatorname{ctg}(\alpha) \) отрицателен, \( \alpha \) лежит во втором квадранте. Используя свойство \( \operatorname{ctg}(\pi - x) = -\operatorname{ctg}(x) \), получаем: \( \operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).
4. Следовательно, \( \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
5. Теперь вычислим синус этого угла: \( \sin(\alpha) = \sin(\frac{2\pi}{3}) \).
6. Значение \( \sin(\frac{2\pi}{3}) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).