5. Высота BK, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AK = 5 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка K лежит на стороне AD.

Так как BK — высота к стороне AD, то \(BK\perp AD\), следовательно, треугольник ABK прямоугольный, а \(\angle AKB=90°\). По условию \(\angle ABK=30°\), значит \(\angle BAK=60°\).

В прямоугольном треугольнике ABK сторона AK лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы: \(AB=2·AK=2·5=10\) см. Все стороны ромба равны, значит \(AB=AD=10\) см.

Угол BAD равен \(\angle BAK=60°\), поскольку K лежит на AD. По теореме косинусов в треугольнике ABD:

\(BD^2=AB^2+AD^2-2·AB·AD·\cos60°=100+100-100=100\), поэтому \(BD=10\) см.

Ответ: 10 см.