5. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8,2 см, а боковая сторона треугольника равна 16,4 см. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). \( BD \) — высота, проведённая к основанию. По условию, \( BD = 8.2 \) см, \( AB = BC = 16.4 \) см.

Высота \( BD \) в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Следовательно, \( AD = DC = \frac{1}{2} AC \) и \( \angle ABD = \angle CBD \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABD \) (угол \( \angle BDA = 90^{\circ} \)).

Найдем \( \sin(\angle BAD) \) как отношение противолежащего катета \( BD \) к гипотенузе \( AB \):

\( \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB} = \frac{8.2}{16.4} = 0.5 \)

Угол, синус которого равен 0.5, равен \( 30^{\circ} \).

Значит, \( \angle BAD = 30^{\circ} \).

Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный, то углы при основании равны:

\( \angle BAC = \angle BCA = 30^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Найдем угол при вершине \( B \):

\( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны \( 30^{\circ} \), \( 120^{\circ} \), \( 30^{\circ} \).