5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Для спутника на круговой орбите сила тяжести играет роль центростремительной силы:

\(\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_1^2}{R}\),

где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса Земли, \(R\) — радиус Земли, \(m\) — масса спутника.

Сократим обе части на \(m\) и умножим на \(R\):

\(v_1^2=\frac{GM}{R}\).

Извлечём квадратный корень. Поскольку у поверхности Земли \(g=\frac{GM}{R^2}\), формулу можно записать и через ускорение свободного падения:

\(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}\).

Подстановка приблизительных значений \(g=9.8\) м/с² и \(R=6.37\cdot10^6\) м даёт \(v_1\approx7.9\cdot10^3\) м/с.

Ответ: \(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}\), приблизительно 7,9 км/с.