5. Выясните взаимное расположение прямых AC и BH на рисунке, если AB = 2 см, BC = 4 см, CA = 5 см, BH = 17,5 см, HM = 7 см, MB = 14 см.

Рассмотрим треугольники ABC и HMB. Их стороны в порядке возрастания: 2 см, 4 см, 5 см и 7 см, 14 см, 17,5 см.

Сравним отношения соответствующих сторон:

\(\dfrac{HM}{AB}=\dfrac{7}{2}=3{,}5,\quad \dfrac{BH}{CA}=\dfrac{17{,}5}{5}=3{,}5,\quad \dfrac{MB}{BC}=\dfrac{14}{4}=3{,}5.\)

Отношения равны, поэтому треугольники подобны. При соответствии вершин A ↔ H, B ↔ M, C ↔ B получаем \(\angle BCA=\angle MBH\).

Это накрест лежащие углы при прямых AC и BH и секущей CB. Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны. Следовательно, \(AC\parallel BH\).

Ответ: AC ∥ BH.