√5-x (x² + 3) = √5-x (x² - 8)

Решение:

Данное уравнение содержит радикал. Чтобы его решить, возведём обе части уравнения в квадрат.

\( \sqrt{5-x} (x^2 + 3) = \sqrt{5-x} (x^2 - 8) \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( \sqrt{5-x} (x^2 + 3) - \sqrt{5-x} (x^2 - 8) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \sqrt{5-x} \) за скобки:

\( \sqrt{5-x} ((x^2 + 3) - (x^2 - 8)) = 0 \)

Упростим выражение в скобках:

\( \sqrt{5-x} (x^2 + 3 - x^2 + 8) = 0 \)

\( \sqrt{5-x} (11) = 0 \)

\( 11 \sqrt{5-x} = 0 \)

Разделим обе части на 11:

\( \sqrt{5-x} = 0 \)

Чтобы избавиться от корня, возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{5-x})^2 = 0^2 \)

\( 5-x = 0 \)

\( x = 5 \)

Необходимо проверить, подходит ли найденный корень, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

При \( x = 5 \) имеем \( 5-x = 5-5 = 0 \). Условие \( 5-x \ge 0 \) выполняется.

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

Левая часть: \( \sqrt{5-5} (5^2 + 3) = \sqrt{0} (25+3) = 0 \cdot 28 = 0 \)

Правая часть: \( \sqrt{5-5} (5^2 - 8) = \sqrt{0} (25-8) = 0 \cdot 17 = 0 \)

Левая часть равна правой, значит, корень \( x=5 \) является решением уравнения.

Ответ: x = 5.