5. Задача № 5 (равнобедренный треугольник). В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N так, что AM = CN. Докажите: AN = CM и △ANC = △CMA.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC, а углы при основании равны: ∠BAC = ∠ACB.

По условию AM = CN. Вычтем равные отрезки из равных: AB − AM = BC − CN, следовательно, BM = BN.

Рассмотрим треугольники ABN и CBM. Имеем AB = CB, BN = BM, а ∠ABN = ∠CBM: оба угла образованы лучами BA и BC, поскольку M лежит на AB, а N — на BC. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AN = CM.

Теперь рассмотрим треугольники ANC и CMA. Здесь AN = CM, NC = MA по условию, а AC — общая сторона. Следовательно, △ANC = △CMA по трём сторонам.

Что и требовалось доказать.