5. Задача на построение. Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Через точку $M$ — середину ребра $A_1B_1$ проведите: 1) прямую, параллельную прямой $B_1C_1$. Опишите, как она проходит и какие точки соединяет; 2) прямую, скрещивающуюся с прямой $CC_1$. Укажите два возможных варианта; 3) прямую, пересекающую прямую $AB$. Укажите точку пересечения.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Задача на построение. Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Через точку $M$ — середину ребра $A_1B_1$…$ Фото задания

5. Задача на построение. Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Через точку $M$ — середину ребра $A_1B_1$ проведите: 1) прямую, параллельную прямой $B_1C_1$. Опишите, как она проходит и какие точки соединяет; 2) прямую, скрещивающуюся с прямой $CC_1$. Укажите два возможных варианта; 3) прямую, пересекающую прямую $AB$. Укажите точку пересечения.

Accepted Answer

1) В плоскости верхнего основания через середину $M$ стороны $A_1B_1$ проведём прямую, параллельную $B_1C_1$. Она пересекает $A_1C_1$ в её середине $N$, поскольку средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне.

Искомая прямая — $MN$; она проходит через середины $A_1B_1$ и $A_1C_1$, то есть соединяет точки $M$ и $N$.

2) Подойдут, например, прямые $MA$ и $MB$. Прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, а $MA$ и $MB$ лежат в этой плоскости. Они не проходят через $C$, поэтому не пересекают $CC_1$; параллельными ей тоже не являются. Следовательно, обе прямые скрещиваются с $CC_1$.

3) Проведём прямую $MC$. Она пересекает $AB$ в точке $P$. Поскольку $M$ — середина $A_1B_1$, а основания призмы параллельны, линия через $C$ и $M$ пересекает $AB$ в его середине.

Ответ: 1) прямая $MN$, где $N$ — середина $A_1C_1$; 2) например, $MA$ и $MB$; 3) прямая $MC$ пересекает $AB$ в его середине $P$.