5. Задача. В правильный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите сторону треугольника и радиус описанной около него окружности. (Требуется чертёж, условие, решение, ответ)

Краткая запись:

• Правильный треугольник
• Вписанная окружность (r): 4 см
• Найти:
• Сторона треугольника (a) — ?
• Описанная окружность (R) — ?

Решение:

1. Свойства правильного треугольника: В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.
2. Связь между r и R: Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: \( R = 2r \).
3. Находим R: \( R = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \) см.
4. Связь между стороной (a) и радиусом вписанной окружности (r): \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
5. Находим сторону (a): Выразим 'a' из формулы: \( a = 2r\sqrt{3} \).
   \( a = 2 \cdot 4 \text{ см} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: Сторона треугольника равна \( 8\sqrt{3} \) см, радиус описанной окружности равен \( 8 \) см.