5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х: X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 --|----|----|---|---|---|---|--- p | 0,08 | 0,10 | 0,14 | 0,17 | 0,19 | 0,18 | p Найти: a) неизвестную вероятность p; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величины; в) функцию распределения F(x) и построить её график; г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = 2|x|+4

Решение:

а) Нахождение неизвестной вероятности p

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна 1. Известные вероятности:

• \( P(X=-2) = 0.08 \)
• \( P(X=-1) = 0.10 \)
• \( P(X=0) = 0.14 \)
• \( P(X=1) = 0.17 \)
• \( P(X=2) = 0.19 \)
• \( P(X=3) = 0.18 \)
• \( P(X=4) = p \)

Сумма известных вероятностей:

\[ 0.08 + 0.10 + 0.14 + 0.17 + 0.19 + 0.18 = 0.86 \]

Теперь найдем \( p \):

\[ 0.86 + p = 1 \]
\[ p = 1 - 0.86 \]
\[ p = 0.14 \]

Ответ а): неизвестная вероятность \( p = 0.14 \).

б) Математическое ожидание (M), дисперсия (D) и среднее квадратическое отклонение (σ)

Закон распределения случайной величины X:

Математическое ожидание (M):

\[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) \]
\[ M(X) = (-2 · 0.08) + (-1 · 0.10) + (0 · 0.14) + (1 · 0.17) + (2 · 0.19) + (3 · 0.18) + (4 · 0.14) \]
\[ M(X) = -0.16 - 0.10 + 0 + 0.17 + 0.38 + 0.54 + 0.56 \]
\[ M(X) = 1.39 \]

Дисперсия (D):

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины \( X^2 \):

\[ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i) \]
\[ M(X^2) = ((-2)^2 · 0.08) + ((-1)^2 · 0.10) + (0^2 · 0.14) + (1^2 · 0.17) + (2^2 · 0.19) + (3^2 · 0.18) + (4^2 · 0.14) \]
\[ M(X^2) = (4 · 0.08) + (1 · 0.10) + (0 · 0.14) + (1 · 0.17) + (4 · 0.19) + (9 · 0.18) + (16 · 0.14) \]
\[ M(X^2) = 0.32 + 0.10 + 0 + 0.17 + 0.76 + 1.62 + 2.24 \]
\[ M(X^2) = 5.21 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]
\[ D(X) = 5.21 - (1.39)^2 \]
\[ D(X) = 5.21 - 1.9321 \]
\[ D(X) = 3.2779 \]

Среднее квадратическое отклонение (σ):

\[ σ(X) = √{D(X)} \]
\[ σ(X) = √{3.2779} ≈ 1.8105 \]

Ответ б): Математическое ожидание \( M(X) = 1.39 \), дисперсия \( D(X) = 3.2779 \), среднее квадратическое отклонение \( σ(X) ≈ 1.8105 \).

в) Функция распределения F(x)

Функция распределения \( F(x) = P(X ≤ x) \). Она вычисляется путем суммирования вероятностей для значений \( X \), меньших или равных \( x \).

• При \( x < -2 \): \( F(x) = 0 \)
• При \( -2 ≤ x < -1 \): \( F(x) = P(X=-2) = 0.08 \)
• При \( -1 ≤ x < 0 \): \( F(x) = P(X=-2) + P(X=-1) = 0.08 + 0.10 = 0.18 \)
• При \( 0 ≤ x < 1 \): \( F(x) = 0.18 + P(X=0) = 0.18 + 0.14 = 0.32 \)
• При \( 1 ≤ x < 2 \): \( F(x) = 0.32 + P(X=1) = 0.32 + 0.17 = 0.49 \)
• При \( 2 ≤ x < 3 \): \( F(x) = 0.49 + P(X=2) = 0.49 + 0.19 = 0.68 \)
• При \( 3 ≤ x < 4 \): \( F(x) = 0.68 + P(X=3) = 0.68 + 0.18 = 0.86 \)
• При \( x ≥ 4 \): \( F(x) = 0.86 + P(X=4) = 0.86 + 0.14 = 1.00 \)

График функции распределения:

Ответ в): Функция распределения задана кусочно-постоянной функцией, график состоит из горизонтальных отрезков.

г) Закон распределения случайной величины Y = 2|X|+4

Найдем значения \( Y \) для каждого значения \( X \):

• Если \( X = -2 \): \( Y = 2|-2| + 4 = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 \)
• Если \( X = -1 \): \( Y = 2|-1| + 4 = 2(1) + 4 = 2 + 4 = 6 \)
• Если \( X = 0 \): \( Y = 2|0| + 4 = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4 \)
• Если \( X = 1 \): \( Y = 2|1| + 4 = 2(1) + 4 = 2 + 4 = 6 \)
• Если \( X = 2 \): \( Y = 2|2| + 4 = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 \)
• Если \( X = 3 \): \( Y = 2|3| + 4 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 \)
• Если \( X = 4 \): \( Y = 2|4| + 4 = 2(4) + 4 = 8 + 4 = 12 \)

Теперь определим вероятности для каждого значения \( Y \). Обратим внимание, что несколько значений \( X \) могут соответствовать одному значению \( Y \).

• \( Y = 4 \) при \( X = 0 \). \( P(Y=4) = P(X=0) = 0.14 \)
• \( Y = 6 \) при \( X = -1 \) и \( X = 1 \). \( P(Y=6) = P(X=-1) + P(X=1) = 0.10 + 0.17 = 0.27 \)
• \( Y = 8 \) при \( X = -2 \) и \( X = 2 \). \( P(Y=8) = P(X=-2) + P(X=2) = 0.08 + 0.19 = 0.27 \)
• \( Y = 10 \) при \( X = 3 \). \( P(Y=10) = P(X=3) = 0.18 \)
• \( Y = 12 \) при \( X = 4 \). \( P(Y=12) = P(X=4) = 0.14 \)

Проверим сумму вероятностей для \( Y \): \( 0.14 + 0.27 + 0.27 + 0.18 + 0.14 = 1.00 \).

Ответ г): Закон распределения случайной величины Y: