5. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой величины.

Дано:

Таблица распределения случайной величины X:

1. Вычисление математического ожидания (E(X)):

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, вычисленное как сумма произведений каждого значения на его вероятность.

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) \]

\[ E(X) = (1 \cdot 0.012) + (2 \cdot 0.152) + (4 \cdot 0.336) + (6 \cdot 0.336) + (8 \cdot 0.152) + (9 \cdot 0.012) \]

\[ E(X) = 0.012 + 0.304 + 1.344 + 2.016 + 1.216 + 0.108 \]

\[ E(X) = 5.000 \]

2. Вычисление дисперсии (D(X)):

Дисперсия показывает разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины ($$E(X^2)$$):

\[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(x_i) \]

\[ E(X^2) = (1^2 \cdot 0.012) + (2^2 \cdot 0.152) + (4^2 \cdot 0.336) + (6^2 \cdot 0.336) + (8^2 \cdot 0.152) + (9^2 \cdot 0.012) \]

\[ E(X^2) = (1 \cdot 0.012) + (4 \cdot 0.152) + (16 \cdot 0.336) + (36 \cdot 0.336) + (64 \cdot 0.152) + (81 \cdot 0.012) \]

\[ E(X^2) = 0.012 + 0.608 + 5.376 + 12.096 + 9.728 + 0.972 \]

\[ E(X^2) = 28.792 \]

Теперь вычислим дисперсию по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

\[ D(X) = 28.792 - (5.000)^2 \]

\[ D(X) = 28.792 - 25.000 \]

\[ D(X) = 3.792 \]

3. Вычисление стандартного отклонения ($$\sigma(X)$$):

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]

\[ \sigma(X) = \sqrt{3.792} \approx 1.947 \]

Ответ:

• Математическое ожидание E(X) = 5.000
• Дисперсия D(X) = 3.792
• Стандартное отклонение $$\sigma(X) \approx 1.947$$