5. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: а) 4,(7); б) 1,(45); в) 0,2(7); г) 0,3(14).

Решение:

а) 4,(7)

Пусть \( x = 4,777... \)

Тогда \( 10x = 47,777... \)

Вычтем первое уравнение из второго: \( 10x - x = 47,777... - 4,777... \)

\( 9x = 43 \)

\( x = \frac{43}{9} \)

б) 1,(45)

Пусть \( x = 1,454545... \)

Тогда \( 100x = 145,454545... \)

Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - x = 145,454545... - 1,454545... \)

\( 99x = 144 \)

\( x = \frac{144}{99} = \frac{16}{11} \)

в) 0,2(7)

Пусть \( x = 0,2777... \)

Тогда \( 10x = 2,777... \)

И \( 100x = 27,777... \)

Вычтем \( 10x \) из \( 100x \): \( 100x - 10x = 27,777... - 2,777... \)

\( 90x = 25 \)

\( x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18} \)

г) 0,3(14)

Пусть \( x = 0,3141414... \)

Тогда \( 10x = 3,141414... \)

И \( 1000x = 314,141414... \)

Вычтем \( 10x \) из \( 1000x \): \( 1000x - 10x = 314,141414... - 3,141414... \)

\( 990x = 311 \)

\( x = \frac{311}{990} \)

Ответ: а) \(\frac{43}{9}\); б) \(\frac{16}{11}\); в) \(\frac{5}{18}\); г) \(\frac{311}{990}\).