50.4. Разделите «уголком» многочлен A(x) на многочлен B(x), найдите неполное частное и остаток: 1) A(x)=x⁷−1, B(x)=x³+x+1; 2) A(x)=x³+5x²−6x−6, B(x)=x−2.

1) Делим с учётом пропущенных степеней:

x⁷ + 0x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x − 1 │ x³ + x + 1
−x⁷ − 0x⁶ − x⁵ − x⁴                         ├─────────────
────────────────────────────────────────────│ x⁴ − x² − x + 1
             −x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x − 1
             +x⁵ + 0x⁴ + x³ + x²
             ───────────────────────────────
                         x³ + x² + 0x − 1
                        −x³ − 0x² − x − 1
                         ───────────────────
                               x² + x + 0

Остаток степени меньше степени делителя. Проверка: \(A(x)=(x^3+x+1)(x^4-x^2-x+1)+(x^2+x)\).

Ответ: неполное частное \(x^4-x^2-x+1\), остаток \(x^2+x\).

2) Делим последовательно на линейный множитель:

x³ + 5x² − 6x − 6 │ x − 2
−x³ + 2x²          ├────────────
───────────────────│ x² + 7x + 8
      7x² − 6x − 6
     −7x² + 14x
      ───────────
             8x − 6
            −8x + 16
             ───────
                  10

Проверка: \(A(x)=(x-2)(x^2+7x+8)+10\).

Ответ: неполное частное \(x^2+7x+8\), остаток \(10\).