50.6. Докажите, что многочлен A(x) делится нацело на двучлен B(x): 1) A(x)=2x³+7x²+7x+2, B(x)=x+2; 2) A(x)=5x⁵−6x⁴−x²+x+1, B(x)=x−1.

1) Разложим многочлен на множители:

\(2x^3+7x^2+7x+2=(x+2)(2x^2+3x+1)\), поскольку при раскрытии скобок получаем исходный многочлен.

Значит, \(A(x)\) представляется произведением \(B(x)=x+2\) и многочлена. Деление нацело доказано.

2) Проверим необходимое условие делимости на \(x-1\): по теореме Безу остаток равен \(A(1)\).

\(A(1)=5-6-1+1+1=0\).

Следовательно, остаток равен нулю, и \(A(x)\) делится на \(x-1\) нацело. Частное можно найти схемой Горнера для коэффициентов \(5,-6,0,-1,1,1\): получаем \(5,-1,-1,-2,-1\).

Итак, \(A(x)=(x-1)(5x^4-x^3-x^2-2x-1)\).

Ответ: в обоих случаях деление нацело; частные — \(2x^2+3x+1\) и \(5x^4-x^3-x^2-2x-1\).