50 а) Какие обозначенные на рисунке треугольники (F, T, Q) равны? б) Какие обозначенные на рисунке треугольники равновелики? в) Сторона квадратной клетки равна 1 см. Найдите площадь квадрата. г) Найдите площадь каждого треугольника.

Решение:

а) На рисунке изображён квадрат, разделенный диагоналями на четыре треугольника. Треугольники F, T и Q являются частями этого квадрата. Так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, то все четыре треугольника, на которые они делят квадрат (обозначенные F, T, Q и четвертый, не обозначенный), равны по трём сторонам (две половины диагонали и сторона квадрата, если бы мы рассматривали меньшие треугольники, или равны по двум сторонам и углу между ними, если рассматривать треугольники F, T, Q как составные).

б) Треугольники F, T и Q равновелики, так как они имеют равную площадь. Это следует из того, что они равны между собой (как доказано в пункте а).

в) Сторона квадратной клетки равна 1 см. Квадрат на рисунке состоит из 4 больших клеток (если считать по диагонали, которая делит квадрат на 2 части, и каждая часть состоит из 2 больших клеток, каждая из которых образована двумя меньшими клетками). Если считать по клеткам, квадрат занимает 4 клетки. Сторона квадрата равна 2 клеткам, то есть 2 см. Площадь квадрата равна \( S_{кв} = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата. \( S_{кв} = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2 \). Альтернативно, каждая большая клетка на рисунке, состоящая из 4 меньших клеток, имеет площадь \( 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2 \). Но на рисунке показано, что квадрат состоит из 4 клеток, каждая из которых имеет сторону, равную 1 см. Таким образом, сторона квадрата равна 2 см. Площадь квадрата равна \( S_{кв} = 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2 \).

г) Площадь каждого треугольника равна половине площади квадрата, так как диагонали делят квадрат на 4 равных треугольника, и треугольники F, T, Q являются объединением этих меньших треугольников. Если рассмотреть, например, треугольник, который не обозначен (верхний левый), то он занимает 1 клетку. Площадь этого треугольника равна \( 1 \text{ см}^2 \). Тогда площадь квадрата равна 4 клеткам, то есть \( 4 \text{ см}^2 \). Треугольник T состоит из 2 таких клеток. Площадь треугольника T равна \( 2 \text{ см}^2 \). Аналогично, треугольники F и Q тоже состоят из 2 клеток, значит, их площадь равна \( 2 \text{ см}^2 \) каждый.

Ответ: а) Треугольники F, T, Q и четвёртый (не обозначенный) равны. б) Треугольники F, T, Q равновелики. в) Площадь квадрата равна 4 см². г) Площадь треугольника T равна 2 см², площадь треугольника F равна 2 см², площадь треугольника Q равна 2 см².