50. Используя единичную окружность, решите уравнения:

Решение:

1. \( \sin{\frac{x}{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \frac{x}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( \frac{x}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \frac{6\pi}{4} + 12\pi k = \frac{3\pi}{2} + 12\pi k \) или \( x = \frac{18\pi}{4} + 12\pi k = \frac{9\pi}{2} + 12\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. \( \sin{\frac{2x}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \frac{2x}{5} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( \frac{2x}{5} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \frac{5\pi}{6} + 5\pi k \) или \( x = \frac{10\pi}{6} + 5\pi k = \frac{5\pi}{3} + 5\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
3. \( \cos{6x} = \frac{1}{2} \)
• \( 6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
4. \( \cos{\frac{x}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \frac{x}{8} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \pm \frac{8\pi}{4} + 16\pi k = \pm 2\pi + 16\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. \( \sin{3x} = 1 \)
• \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. \( \cos{\frac{4x}{5}} = 0 \)
• \( \frac{4x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi k}{4} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ:

1. \( x = \frac{3\pi}{2} + 12\pi k \) или \( x = \frac{9\pi}{2} + 12\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. \( x = \frac{5\pi}{6} + 5\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{3} + 5\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
3. \( x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
4. \( x = \pm 2\pi + 16\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. \( x = \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi k}{4} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).