50. Решите систему уравнений методом сложения: 1) {5x + y = 7, 7x - 4y = -1; 2) {6x - 5y = 23, 2x - 7y = 13; 3) {5x - 2y = 16, 8x + 3y = 38; 4) {5x - 4y = 10, 2x - 3y = -3; 5) {4a + 6b = 9, 3a - 5b = 2; 6) {9m - 13n = 22, 2m + 3n = -1.

Решение:

1) Система уравнений:

\( \begin{cases} 5x + y = 7 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( \begin{cases} (5x + y) \cdot 4 = 7 \cdot 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20x + 4y = 28 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (20x + 4y) + (7x - 4y) = 28 + (-1) \)

\( 27x = 27 \)

\( x = \frac{27}{27} = 1 \)

Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение:

\( 5(1) + y = 7 \Rightarrow 5 + y = 7 \Rightarrow y = 7 - 5 = 2 \)

Ответ: \( x = 1, y = 2 \)

2) Система уравнений:

\( \begin{cases} 6x - 5y = 23 \\ 2x - 7y = 13 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными:

\( \begin{cases} 6x - 5y = 23 \\ (2x - 7y) \cdot (-3) = 13 \cdot (-3) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x - 5y = 23 \\ -6x + 21y = -39 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (6x - 5y) + (-6x + 21y) = 23 + (-39) \)

\( 16y = -16 \)

\( y = \frac{-16}{16} = -1 \)

Подставим \( y = -1 \) во второе уравнение:

\( 2x - 7(-1) = 13 \Rightarrow 2x + 7 = 13 \Rightarrow 2x = 13 - 7 = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{2} = 3 \)

Ответ: \( x = 3, y = -1 \)

3) Система уравнений:

\( \begin{cases} 5x - 2y = 16 \\ 8x + 3y = 38 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( \begin{cases} (5x - 2y) \cdot 3 = 16 \cdot 3 \\ (8x + 3y) \cdot 2 = 38 \cdot 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x - 6y = 48 \\ 16x + 6y = 76 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (15x - 6y) + (16x + 6y) = 48 + 76 \)

\( 31x = 124 \)

\( x = \frac{124}{31} = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение:

\( 5(4) - 2y = 16 \Rightarrow 20 - 2y = 16 \Rightarrow -2y = 16 - 20 = -4 \Rightarrow y = \frac{-4}{-2} = 2 \)

Ответ: \( x = 4, y = 2 \)

4) Система уравнений:

\( \begin{cases} 5x - 4y = 10 \\ 2x - 3y = -3 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( \begin{cases} (5x - 4y) \cdot 3 = 10 \cdot 3 \\ (2x - 3y) \cdot (-4) = -3 \cdot (-4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x - 12y = 30 \\ -8x + 12y = 12 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (15x - 12y) + (-8x + 12y) = 30 + 12 \)

\( 7x = 42 \)

\( x = \frac{42}{7} = 6 \)

Подставим \( x = 6 \) во второе уравнение:

\( 2(6) - 3y = -3 \Rightarrow 12 - 3y = -3 \Rightarrow -3y = -3 - 12 = -15 \Rightarrow y = \frac{-15}{-3} = 5 \)

Ответ: \( x = 6, y = 5 \)

5) Система уравнений:

\( \begin{cases} 4a + 6b = 9 \\ 3a - 5b = 2 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при \( b \) стали противоположными:

\( \begin{cases} (4a + 6b) \cdot 5 = 9 \cdot 5 \\ (3a - 5b) \cdot 6 = 2 \cdot 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20a + 30b = 45 \\ 18a - 30b = 12 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (20a + 30b) + (18a - 30b) = 45 + 12 \)

\( 38a = 57 \)

\( a = \frac{57}{38} = \frac{3}{2} \)

Подставим \( a = \frac{3}{2} \) во второе уравнение:

\( 3(\frac{3}{2}) - 5b = 2 \Rightarrow \frac{9}{2} - 5b = 2 \Rightarrow -5b = 2 - \frac{9}{2} = \frac{4 - 9}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow b = \frac{-5/2}{-5} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} \)

6) Система уравнений:

\( \begin{cases} 9m - 13n = 22 \\ 2m + 3n = -1 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 13, а первое на 3, чтобы коэффициенты при \( n \) стали противоположными:

\( \begin{cases} (9m - 13n) \cdot 3 = 22 \cdot 3 \\ (2m + 3n) \cdot 13 = -1 \cdot 13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 27m - 39n = 66 \\ 26m + 39n = -13 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (27m - 39n) + (26m + 39n) = 66 + (-13) \)

\( 53m = 53 \)

\( m = \frac{53}{53} = 1 \)

Подставим \( m = 1 \) во второе уравнение:

\( 2(1) + 3n = -1 \Rightarrow 2 + 3n = -1 \Rightarrow 3n = -1 - 2 = -3 \Rightarrow n = \frac{-3}{3} = -1 \)

Ответ: \( m = 1, n = -1 \)