50. В прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = 12 см. Две стороны квадрата CMKN лежат на катетах треугольника ABC, а вершина K принадлежит гипотенузе AB. Найдите сторону квадрата.

Обозначим сторону квадрата через \(x\). Разместим треугольник в координатной плоскости: \(C=(0,0)\), \(A=(12,0)\), \(B=(0,12)\). Тогда гипотенуза \(AB\) задаётся уравнением \(x_1+y_1=12\).

Так как две стороны квадрата лежат на катетах, его вершина, противоположная вершине \(C\), имеет координаты \((x,x)\). Она принадлежит гипотенузе, поэтому \(x+x=12\), откуда \(x=6\).

Ответ: 6 см.