50. Вычислить длину одной арки циклоиды. { x = 3(t - sint) y = 3(1-cost) (0≤ t ≤2π)

Решение:

Для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями \( x = x(t) \) и \( y = y(t) \), используется формула:

\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \]

Найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \):

• \( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3(t - \sin t)) = 3(1 - \cos t) \)
• \( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3(1 - \cos t)) = 3(0 - (-\sin t)) = 3\sin t \)

Теперь подставим производные в формулу для длины дуги:

\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(3(1 - \cos t))^2 + (3\sin t)^2} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 9\sin^2 t} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9(1 - 2\cos t + 1)} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9(2 - 2\cos t)} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} 3\sqrt{2(1 - \cos t)} dt \]

Используем тригонометрическое тождество \( 1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2}) \):

\[ L = \int_{0}^{2\pi} 3\sqrt{2(2\sin^2(\frac{t}{2}))} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} 3\sqrt{4\sin^2(\frac{t}{2})} dt \]\[ L = \int_{0}^{2\pi} 3 |2\sin(\frac{t}{2})| dt \]

В интервале \( [0, 2\pi] \), \( \frac{t}{2} \) находится в интервале \( [0, \pi] \), где \( \sin(\frac{t}{2}) \ge 0 \). Поэтому модуль можно снять:

\[ L = \int_{0}^{2\pi} 6\sin(\frac{t}{2}) dt \]

Вычислим интеграл:

\[ L = 6 \left[ -\frac{\cos(\frac{t}{2})}{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2\pi} \]\[ L = 6 \left[ -2\cos(\frac{t}{2}) \right]_{0}^{2\pi} \]\[ L = -12 \left[ \cos(\frac{t}{2}) \right]_{0}^{2\pi} \]\[ L = -12 (\cos(\frac{2\pi}{2}) - \cos(\frac{0}{2})) \]\[ L = -12 (\cos(\pi) - \cos(0)) \]\[ L = -12 (-1 - 1) \]\[ L = -12 (-2) \]\[ L = 24 \]

Ответ: 24.