Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для решения задачи будем использовать нормальное приближение биномиального распределения. В данном случае:
- Число испытаний \( n = 150 \).
- Вероятность успеха в одном испытании \( p = 0.4 \).
- Вероятность неудачи \( q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6 \).
- Математическое ожидание \( \mu = np = 150 \cdot 0.4 = 60 \).
- Среднее квадратичное отклонение \( \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{150 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{36} = 6 \).
Для применения нормального распределения, будем использовать z-оценку (стандартизированную переменную): \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \).
а) «наступит менее 48 успехов»
Требуется найти вероятность \( P(X < 48) \). Поскольку мы используем непрерывное распределение для дискретной величины, применяем поправку на непрерывность: \( P(X \le 47.5) \).
Найдём z-оценку для \( X = 47.5 \):
\[ Z = \frac{47.5 - 60}{6} = \frac{-12.5}{6} \approx -2.08 \]Теперь найдём вероятность \( P(Z < -2.08) \) по таблице стандартного нормального распределения. Это значение равно приблизительно 0.0188.
б) «наступит от 54 до 66 успехов»
Требуется найти вероятность \( P(54 \le X \le 66) \). Применяя поправку на непрерывность, находим \( P(53.5 \le X \le 66.5) \).
Найдём z-оценки для \( X = 53.5 \) и \( X = 66.5 \):
\[ Z_1 = \frac{53.5 - 60}{6} = \frac{-6.5}{6} \approx -1.08 \]\[ Z_2 = \frac{66.5 - 60}{6} = \frac{6.5}{6} \approx 1.08 \]Теперь найдём вероятность \( P(-1.08 \le Z \le 1.08) \). Это можно рассчитать как \( P(Z \le 1.08) - P(Z \le -1.08) \).
По таблице стандартного нормального распределения:
- \( P(Z \le 1.08) \) ≈ 0.8599
- \( P(Z \le -1.08) \) ≈ 0.1401
Вероятность \( P(-1.08 \le Z \le 1.08) \) ≈ 0.8599 - 0.1401 = 0.7198.
Ответ: а) Вероятность того, что наступит менее 48 успехов, приблизительно равна 0.0188. б) Вероятность того, что число успехов будет от 54 до 66, приблизительно равна 0.7198.
