Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика503 Однажды известный натуралист Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, проводил опыты с монетой, бросил её 4040 раз. Орёл выпал 2048 раз, то есть на 20 раз больше, чем в среднем. С помощью нормального приближения оцените вероятность события «в опыте Бюффона число орлов отклонится от математического ожидания на 28 или больше».
Ответ:
Решение:
Задача сводится к оценке вероятности отклонения числа орлов от математического ожидания в опыте графа де Бюффона. Будем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Параметры испытания:
- Число испытаний \( n = 4040 \).
- Вероятность выпадения орла (при честной монете) \( p = 0.5 \).
- Вероятность выпадения решки \( q = 1 - p = 0.5 \).
- Математическое ожидание (ожидаемое число орлов) \( \mu = np = 4040 \cdot 0.5 = 2020 \).
- Среднее квадратичное отклонение \( \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{4040 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{1010} \approx 31.78 \).
Событие, вероятность которого нужно оценить: «число орлов отклонится от математического ожидания на 28 или больше». Это означает, что наблюдаемое число орлов \( X \) будет удовлетворять условию:
\[ |X - \mu| \ge 28 \]или
\[ X - \mu \ge 28 \quad \text{или} \quad X - \mu \le -28 \]То есть,
\[ X \ge 2020 + 28 \quad \text{или} \quad X \le 2020 - 28 \]Получаем два интервала:
\[ X \ge 2048 \quad \text{или} \quad X \le 1992 \]Для применения нормального приближения с поправкой на непрерывность, рассмотрим интервалы:
\[ X \ge 2047.5 \quad \text{или} \quad X \le 1992.5 \]Найдём z-оценки для границ этих интервалов:
Для \( X = 2047.5 \)
\[ Z_1 = \frac{2047.5 - 2020}{31.78} = \frac{27.5}{31.78} \approx 0.865 \]Для \( X = 1992.5 \)
\[ Z_2 = \frac{1992.5 - 2020}{31.78} = \frac{-27.5}{31.78} \approx -0.865 \]Нам нужно найти вероятность \( P(Z \ge 0.865) + P(Z \le -0.865) \).
По таблице стандартного нормального распределения:
- \( P(Z \ge 0.865) = 1 - P(Z < 0.865) \approx 1 - 0.8065 = 0.1935 \)
- \( P(Z \le -0.865) = 1 - P(Z < 0.865) \approx 1 - 0.8065 = 0.1935 \)
Следовательно, искомая вероятность равна:
\[ 0.1935 + 0.1935 = 0.387 \]Ответ: Вероятность того, что число орлов отклонится от математического ожидания на 28 или больше, приблизительно равна 0.387.
