506. Упростите выражение: а) (1/(x + x√y) + 1/(x − x√y)) · (y − 1)/2; б) (√a/(√a − √b) − √a/(√a + √b)) · (b − a)²/2.

а) Сложим дроби, разложив знаменатели на множители:

\(\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}}+\frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right)\cdot\frac{y-1}{2}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1+\sqrt{y}}+\frac{1}{1-\sqrt{y}}\right)\cdot\frac{y-1}{2}\)

\(=\frac{1}{x}\cdot\frac{(1-\sqrt{y})+(1+\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})}\cdot\frac{y-1}{2}=\frac{1}{x}\cdot\frac{2}{1-y}\cdot\frac{y-1}{2}=-\frac{1}{x}.\)

Исправление: в исходной сумме знаменатели содержат множитель \(x\), поэтому при приведении к общему знаменателю возникает \(x^2\):

\(\frac{1}{x(1+\sqrt{y})}+\frac{1}{x(1-\sqrt{y})}=\frac{2}{x(1-y)}.\)

Следовательно, \(\frac{2}{x(1-y)}\cdot\frac{y-1}{2}=-\frac{1}{x}.\)

б) Используем разность квадратов:

\(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\cdot\frac{(b-a)^2}{2}=\frac{\sqrt{a}\big((\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})\big)}{a-b}\cdot\frac{(b-a)^2}{2}\)

\(=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}\cdot\frac{(b-a)^2}{2}=(a-b)\sqrt{ab}.\)

Ответ: а) −1/x; б) (a − b)√(ab).