506. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(AO = BO = \frac{AC}{2} = 6\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\):

\(CD = AC \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \(AB = CD = 6\) см.

Следовательно, в треугольнике \(AOB\) все стороны равны 6 см.

\(P_{AOB} = AO + OB + AB = 6 + 6 + 6 = 18\) см.

Ответ: 18 см.