51.2. Решите уравнение: 1) x³ + x² − 4x + 2 = 0; 2) x³ − x² − 8x + 12 = 0; 3) x³ + 4x² + 5x + 2 = 0; 4) x⁴ + 4x³ − 2x² − 4x + 1 = 0; 5) x⁴ + 2x³ − 11x² + 4x + 4 = 0; 6) 3x⁴ + 5x³ − 9x² − 9x + 10 = 0.

1. Подбором находим корень \(x=1\). Разложим многочлен на множители:

   \(x^3+x^2-4x+2=(x-1)(x^2+2x-2)=0.\)

   Отсюда \(x=1\) или \(x^2+2x-2=0\). По формуле корней квадратного уравнения получаем \(x=-1\pm\sqrt{3}\).

2. Разложим на множители:

   \(x^3-x^2-8x+12=(x-2)(x^2+x-6)=(x-2)(x+3)(x-2)=0.\)

   Следовательно, \(x=2\) или \(x=-3\).

3. Разложим многочлен:

   \(x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2)=(x+1)^2(x+2)=0.\)

   Следовательно, \(x=-1\) или \(x=-2\).

4. Представим многочлен как произведение квадратных трёхчленов:

   \(x^4+4x^3-2x^2-4x+1=(x^2+(2+2\sqrt{2})x+1)(x^2+(2-2\sqrt{2})x+1)=0.\)

   Решая оба квадратных уравнения, получаем корни \(x=-1-\sqrt{2}\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}}\) и \(x=-1+\sqrt{2}\pm\sqrt{2-2\sqrt{2}}\).

5. Разложим на множители:

   \(x^4+2x^3-11x^2+4x+4=(x^2+5x+2)(x^2-3x+2)=(x^2+5x+2)(x-1)(x-2)=0.\)

   Из первого множителя получаем \(x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\); из остальных — \(x=1\) или \(x=2\).

6. Последовательно разложим многочлен на множители:

   \(3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=(x-1)(3x^3+8x^2-x-10)=(x-1)^2(3x^2+11x+10)=(x-1)^2(3x+5)(x+2)=0.\)

   Следовательно, \(x=1\), \(x=-\frac{5}{3}\) или \(x=-2\).

Ответ: 1) \(1, -1\pm\sqrt{3}\); 2) \(2, -3\); 3) \(-1, -2\); 4) \(-1-\sqrt{2}\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}},\ -1+\sqrt{2}\pm\sqrt{2-2\sqrt{2}}\); 5) \(1, 2, \frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\); 6) \(1, -\frac{5}{3}, -2\).