51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть высота к гипотенузе равна \(h\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике угол между катетами равен \(90^\circ\), а высота к гипотенузе делит его на два подобных треугольника с углами \(45^\circ\), поэтому каждый из них равнобедренный.

Квадрат расположен между гипотенузой и катетами. Его сторона, лежащая на гипотенузе, равна 6 см. Расстояние от этой стороны до вершины прямого угла равно высоте квадрата, то есть тоже 6 см.

На высоте треугольника катеты образуют с гипотенузой углы по \(45^\circ\). Поэтому на уровне верхней стороны квадрата горизонтальное расстояние между катетами уменьшается на 6 см с каждой стороны. Значит, длина стороны квадрата на этом уровне равна \(h-6\).

Составим равенство: \(h-6=6\), откуда \(h=12\) см.

Ответ: 12 см.