51. Дано: AM — биссектриса ΔABC, KE — серединный перпендикуляр к отрезку AM. Доказать: EM ∥ AC.

Так как KE — серединный перпендикуляр к отрезку AM, то точка E равноудалена от его концов:

\(EA=EM\).

Следовательно, треугольник AEM равнобедренный, поэтому его углы при основании AM равны:

\(\angle EAM=\angle AME\).

Точка E лежит на AB, а AM — биссектриса угла A, значит:

\(\angle EAM=\angle BAM=\angle MAC\).

Отсюда \(\angle AME=\angle MAC\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых EM и AC секущей AM, поэтому:

Ответ: \(EM\parallel AC\).