51. На рисунке 155 AB ⟂ KS, MS ⟂ CS. Докажите, что ∠ASM = ∠KSC.

Так как A, S и B лежат на одной прямой, а AB ⟂ KS, то ∠ASK = 90°.

По условию MS ⟂ CS, поэтому ∠MSC = 90°.

Луч SM расположен внутри угла ASK, а луч SC — внутри угла KSB. Следовательно, ∠ASM и ∠KSC — дополнительные части прямых углов:

∠ASM = 90° − ∠MSK,

∠KSC = 90° − ∠MSC? Угол MSC равен 90°, но для второго разложения используем, что ∠KSC + ∠CSB = ∠KSB = 90°, а ∠CSB = 90° − ∠KSC. Из перпендикулярности MS ⟂ CS следует, что ∠MSK и ∠KSC дополняют друг друга до 90°.

Значит, ∠ASM = 90° − ∠MSK = ∠KSC.

Ответ: ∠ASM = ∠KSC.