51. На рисунке 23 ∠KMD = ∠EMF, ∠DME = ∠FMP. Докажите, что DM ⟂ MF.

Точки K, M и P лежат на одной прямой, поэтому ∠KMP = 180°.

1. Обозначим ∠KMD = α, ∠DME = β. По условию ∠EMF = α, а ∠FMP = β.
2. Соседние углы от луча MK до луча MP составляют развёрнутый угол: α + β + α + β = 180°.
3. Тогда 2(α + β) = 180°, значит, α + β = 90°.
4. Угол ∠DMF равен ∠DME + ∠EMF = β + α = 90°.

Значит, угол между лучами MD и MF прямой.

Ответ: DM ⟂ MF.