51. Постройте график функции \(y=-x^2+2x+8\) и найдите с помощью графика: а) значения функции при \(x=2{,}5; -0{,}5; -3\); б) значения аргумента, при которых \(y=6; 0; -2\); в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее значение функции.

Преобразуем функцию: \(y=-(x-1)^2+9\). Это парабола с ветвями вниз, вершиной \((1;9)\) и осью симметрии \(x=1\). Нули: \(-(x-1)^2+9=0\), поэтому \(x=-2\) и \(x=4\).

а) \(f(2{,}5)=6{,}75\); \(f(-0{,}5)=6{,}75\); \(f(-3)=-7\).

б) При \(y=6\): \((x-1)^2=3\), значит \(x=1\pm\sqrt3\) (примерно \(-0{,}73\) и \(2{,}73\)). При \(y=0\): \(x=-2; 4\). При \(y=-2\): \((x-1)^2=11\), значит \(x=1\pm\sqrt{11}\) (примерно \(-2{,}32\) и \(4{,}32\)).

в) Нули функции: \(-2\) и \(4\). Функция положительна на \((-2;4)\), отрицательна на \((-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).

г) Возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\). Наибольшее значение равно \(9\) при \(x=1\).

Для построения можно отметить вершину \((1;9)\), нули \((-2;0)\), \((4;0)\) и симметричные точки \((0;8)\), \((2;8)\), затем провести через них параболу: