51. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) $\frac{5^3\cdot a^2\cdot(b^4)^2\cdot c^5}{(25)^2\cdot a^3\cdot(b^3)^3\cdot(c^3)^1}$; б) $\frac{9^2\cdot(x^2)^3\cdot y^5\cdot z^4}{3^3\cdot x^2\cdot x^3\cdot(y^3)^2\cdot(z^2)^2}$; в) $\frac{k^4-k^2}{k^4-k^6}$; г) $\frac{m^4-m^6+m^8}{m^6-m^8+m^{10}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 51. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) \(\frac{5^3\cdot a^2\cdot(b^4)^2\cdot c^5}{(25)^2\cdot…$ Фото задания

51. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) $\frac{5^3\cdot a^2\cdot(b^4)^2\cdot c^5}{(25)^2\cdot a^3\cdot(b^3)^3\cdot(c^3)^1}$; б) $\frac{9^2\cdot(x^2)^3\cdot y^5\cdot z^4}{3^3\cdot x^2\cdot x^3\cdot(y^3)^2\cdot(z^2)^2}$; в) $\frac{k^4-k^2}{k^4-k^6}$; г) $\frac{m^4-m^6+m^8}{m^6-m^8+m^{10}}$.

Accepted Answer

а) Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием и деления степеней:

$\frac{5^3\cdot a^2\cdot(b^4)^2\cdot c^5}{(25)^2\cdot a^3\cdot(b^3)^3\cdot(c^3)^1}=\frac{5^3a^2b^8c^5}{5^4a^3b^9c^3}=\frac{1}{5abc}.$

Здесь $a,b,c\ne0$, поскольку эти переменные входят в знаменатель исходной дроби.

б) Представляем 9 как $3^2$ и раскрываем степени степеней:

$\frac{9^2\cdot(x^2)^3\cdot y^5\cdot z^4}{3^3\cdot x^2\cdot x^3\cdot(y^3)^2\cdot(z^2)^2}=\frac{3^4x^6y^5z^4}{3^3x^5y^6z^4}=\frac{3x}{y}.$

Здесь $x,y,z\ne0$, поскольку они входят в знаменатель исходной дроби.

в) Разлагаем числитель и знаменатель на множители:

$\frac{k^4-k^2}{k^4-k^6}=\frac{k^2(k^2-1)}{k^4(1-k^2)}=-\frac{1}{k^2}.$

В исходном выражении знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $k\ne0$ и $k\ne\pm1$.

г) Выносим общие множители и сокращаем одинаковый многочлен:

$\frac{m^4-m^6+m^8}{m^6-m^8+m^{10}}=\frac{m^4(1-m^2+m^4)}{m^6(1-m^2+m^4)}=\frac{1}{m^2}.$

При действительных значениях $1-m^2+m^4\ne0$, а из условия на знаменатель исходной дроби следует $m\ne0$.

Ответ: а) $\frac{1}{5abc}$; б) $\frac{3x}{y}$; в) $-\frac{1}{k^2}$; г) $\frac{1}{m^2}$.