51 Вычисли и докажи, что полученную дробь нельзя перевести в десятичную период. 17. 3 3 5 - (4 2 1 13-8 11 2 3,3. 3 17. [5-(4 2 1 3 13 11 8 2 2 3.3.

Решение:

Давай разберем пример по шагам, чтобы понять, как получить ответ.

1. Действия в скобках:

Сначала вычислим выражение внутри самых внутренних скобок: $$4 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{3}$$.

• Приведем дроби к общему знаменателю (6):
• \[ 4 \frac{1}{2} = 4 \frac{3}{6} \]
• \[ 2 \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{6} \]
• Теперь вычтем:
• \[ 4 \frac{3}{6} - 2 \frac{2}{6} = (4-2) + (\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) = 2 \frac{1}{6} \]

2. Следующее действие:

Теперь умножим результат на $$13 \frac{8}{11}$$. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

• \[ 2 \frac{1}{6} = \frac{2 \times 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} \]
• \[ 13 \frac{8}{11} = \frac{13 \times 11 + 8}{11} = \frac{143 + 8}{11} = \frac{151}{11} \]
• Выполним умножение:
• \[ \frac{13}{6} \times \frac{151}{11} = \frac{13 \times 151}{6 \times 11} = \frac{1963}{66} \]

3. Вычитание из 5:

Теперь вычтем это из 5:

• \[ 5 - \frac{1963}{66} \]
• Преобразуем 5 в дробь со знаменателем 66:
• \[ 5 = \frac{5 \times 66}{66} = \frac{330}{66} \]
• Выполним вычитание:
• \[ \frac{330}{66} - \frac{1963}{66} = \frac{330 - 1963}{66} = \frac{-1633}{66} \]

4. Деление на 3,3:

Теперь разделим полученный результат на 3,3. Сначала преобразуем 3,3 в дробь:

• \[ 3.3 = \frac{33}{10} \]
• Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:
• \[ \frac{-1633}{66} \div \frac{33}{10} = \frac{-1633}{66} \times \frac{10}{33} \]
• Сократим, где возможно (10 и 66 на 2):
• \[ \frac{-1633}{33} \times \frac{5}{33} = \frac{-1633 \times 5}{33 \times 33} = \frac{-8165}{1089} \]

5. Проверка на перевод в десятичную дробь:

Чтобы дробь можно было перевести в конечную десятичную дробь, её знаменатель после всех сокращений должен состоять только из простых множителей 2 и 5. В нашем случае знаменатель равен 1089.

• Разложим 1089 на простые множители:
• $$1089 = 3 \times 363 = 3 \times 3 \times 121 = 3 \times 3 \times 11 \times 11 = 3^2 \times 11^2$$

Поскольку в разложении знаменателя есть множители 3 и 11 (кроме 2 и 5), дробь $$\frac{-8165}{1089}$$ является бесконечной периодической десятичной дробью.

Ответ: Полученную дробь $$\frac{-8165}{1089}$$ нельзя перевести в конечную десятичную дробь, так как её знаменатель имеет простые множители, отличные от 2 и 5.