510. Докажите признак ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и AC ⟂ BD. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC.

Треугольники AOB и COB прямоугольные, имеют общий катет OB и равные катеты AO и OC. Следовательно, они равны, откуда AB = BC.

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD. Вместе с AB = BC это означает, что все четыре стороны равны. Значит, ABCD — ромб.

б) Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то он является ромбом.

Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол A пополам. Тогда ∠BAC = ∠CAD. Поскольку AD ∥ BC, накрест лежащие углы ∠CAD и ∠ACB равны. Поэтому ∠BAC = ∠ACB.

В треугольнике ABC против равных углов лежат равные стороны, значит AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD и BC = AD. Следовательно, все стороны ABCD равны, то есть ABCD — ромб.