514. а) log₁/₂(2x − 4) = −2; б) logₓ(x² + 2x + 3) = logₓ 6; в) log₀,₃(5 + 2x) = 1; г) log₂(8 − x) = 0.

Для логарифмических уравнений учитываем область допустимых значений: основание логарифма должно быть положительным и не равно 1, а аргумент — положительным.

1. а) \(2x-4=\left(\frac12\right)^{-2}=4\).

   \(2x=8\), поэтому \(x=4\). Проверка: \(2\cdot4-4=4>0\).

2. б) Основание: \(x>0\), \(x\ne1\). Аргумент \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\).

   При одинаковых допустимых основаниях равенство логарифмов означает равенство аргументов:

   \(x^2+2x+3=6\),

   \(x^2+2x-3=0\),

   \((x-1)(x+3)=0\).

   Получаем \(x=1\) или \(x=-3\), но оба значения не входят в область допустимых значений. Следовательно, решений нет.

3. в) \(5+2x=(0.3)^1=0.3\).

   \(2x=-4.7\), поэтому \(x=-2.35\). Проверка: \(5+2(-2.35)=0.3>0\).

4. г) \(8-x=2^0=1\), поэтому \(x=7\). Проверка: \(8-7=1>0\).

Ответ: а) \(x=4\); б) решений нет; в) \(x=-2.35\); г) \(x=7\).