518. Решите уравнения: а) $\log_{8}x=2\log_{8}3+\log_{8}5$; б) $\log_{8}(x-9)+\log_{8}(2x-1)=2$; в) $\log_{8}x=10\log_{8}10-\log_{8}2$; г) $\log_{8}(x+1)+\log_{8}(x+3)=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 518. Решите уравнения: а) $\log_{8}x=2\log_{8}3+\log_{8}5$; б) $\log_{8}(x-9)+\log_{8}(2x-1)=2$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Используем свойства логарифмов:

\[2\log_{8}3=\log_{8}3^2=\log_{8}9.\]

Тогда

\[\log_{8}x=\log_{8}9+\log_{8}5=\log_{8}45,\]

следовательно, $x=45$.

б)

ОДЗ: $x-9>0$, поэтому $x>9$.

\[\log_{8}\bigl((x-9)(2x-1)\bigr)=2,\]

\[(x-9)(2x-1)=8^2=64.\]

Раскрываем скобки:

\[2x^2-19x+9=64,\]

\[2x^2-19x-55=0.\]

\[D=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-55)=801=9\cdot89.\]

\[x=\frac{19\pm3\sqrt{89}}{4}.\]

Условию $x>9$ удовлетворяет только положительный корень:

\[x=\frac{19+3\sqrt{89}}{4}.\]

в)

\[10\log_{8}10=\log_{8}10^{10}.\]

Поэтому

\[\log_{8}x=\log_{8}10^{10}-\log_{8}2=\log_{8}\frac{10^{10}}{2}=\log_{8}(5\cdot10^9),\]

следовательно, $x=5\cdot10^9$.

г)

ОДЗ: $x+1>0$, поэтому $x>-1$.

\[\log_{8}\bigl((x+1)(x+3)\bigr)=1,\]

\[(x+1)(x+3)=8.\]

\[x^2+4x+3=8,\]

\[x^2+4x-5=0,\]

\[(x-1)(x+5)=0.\]

Корни: $x=1$ и $x=-5$. По ОДЗ подходит только $x=1$.

Ответ: а) $x=45$; б) $x=\frac{19+3\sqrt{89}}{4}$; в) $x=5\cdot10^9$; г) $x=1$.

518. Решите уравнения: а) \(\log_{8}x=2\log_{8}3+\log_{8}5\); б) \(\log_{8}(x-9)+\log_{8}(2x-1)=2\); в) \(\log_{8}x=10\log_{8}10-\log_{8}2\); г) \(\log_{8}(x+1)+\log_{8}(x+3)=1\).